Question

【題目】求下列函數的值域和單調區間：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】（1）值域，增區間，減區間；（2）值域，減區間，增區間.

【解析】

（1）令，求得的取值范圍，結合指數函數的單調性可求得原函數的值域，利用復合函數的單調性可求得原函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）設，可得，利用二次函數的基本性質可求得原函數的值域，利用復合函數的單調性可得出原函數的單調遞增區間和遞減區間.

（1）函數的定義域為，設，則，

又因為指數函數單調遞增，且，.

所以函數的值域為.

因為在區間上單調遞增，而指數函數單調遞增，

所以，函數的單調遞增區間為.

同理，因為在區間上單調遞減，而指數函數單調遞增，

所以，函數的單調遞減區間為；

（2）函數的定義域為，設，則.

，

所以函數的值域為.

因為在上單調遞減，此時由得.

而指數函數在上單調遞增，

所以，函數的單調遞減區間為.

同理，因為在上單調遞增，此時由得.

而指數函數在上單調遞增，

所以，函數的單調遞增區間為.