Question

【題目】已知數列{bn}是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=100．
（1）求數列{bn}的通項bn；
（2）設數列{an}的通項an=loga（1+ ），a＞0，且a≠1，記Sn是數列{an}的前n項的和．試比較Sn與 logabn+1的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列{bn}的公差為d，由題意得：b1=1，

10b1+ =100．

解得 ，

∴bn=1+2（n1﹣）=2n﹣1．

（2）解：an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，

Sn=loga（1+1）+ +…+

= ．

logabn+1= = ．

可先比較（1+1）（1+ ）…（1+ ）與 的大小．

取n=1，有（1+1）＞ ；

取n=2，有（1+1）（1+ ）＞ ．

由此推測：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ …①

下面用數學歸納法證明①式：

（i）當n=1時，已驗證①式成立．

（ii）假設當n=k （k≥1）時，①式成立，即

（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，

那么，當n=k+1時，（1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）

＞ （1+ ）= （2k+2）

∵[ （2k+2）]2﹣[ ]2

= = ＞0，

∴ （2k+2）＞ =

因而 （1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）＞ ．

這就是說①式，當n=k+1時也成立．

由（i），（ii）知，①式對任何正整數n都成立．

利用函數y=logax的單調性，得結論：

當a＞1時，Sn＞ logabn+1；

當0＜a＜1時，Sn＜ logabn+1．

或利用 = ＞ ，證明 … ＞ ，即可證明．

【解析】（1）利用等差數列的通項公式及其前n項和公式即可得出；（2）an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，Sn= ． logabn+1= ．可先比較（1+1）（1+ ）…（1+ ）與 的大小．猜想：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，利用數學歸納法證明即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等差數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通項公式：或；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．