Question

【題目】已知函數(shù)， （為常數(shù)）.

（1）若函數(shù)與函數(shù)在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且，證明： ；

（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實(shí)數(shù)的值；（2）研究差函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定最小值為0，即證得結(jié)論（3）研究差函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以恒成立，利用變量分離轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1），則且.

所以函數(shù)在處的切線方程為： ，從而，即.

（2）由題意知：設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)，從而對(duì)任意恒成立，

所以，即，

因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，

所以當(dāng)時(shí)， 成立.

（3）設(shè)函數(shù)，

從而對(duì)任意，不等式恒成立.

又，當(dāng)，即恒成立時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

設(shè)，則，所以，即，符合題意；

當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

于是，不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增，

所以 ，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時(shí)， 成立，不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為： .