Question

【題目】設函數f（x）＝x2﹣3x

（1）若不等式f（x）≥m對任意x∈[0，1]恒成立，求實數的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，當m取最大值時，設x＞0，y＞0且2x+4y+m＝0，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) m≤﹣2;(2) 3+2.

【解析】

（1）分析函數f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上的單調性，進而求出函數的最小值，可得實數m的取值范圍；

（2）由（1）得：m＝﹣2，即x+2y＝1，利用基本不等式，可得的最小值．

解：（1）函數f（x）＝x2﹣3x的圖象是開口朝上，且以直線x為對稱軸的拋物線，

故函數f（x）＝x2﹣3x在[0，1]上單調遞減，

當x＝1時，函數取最小值﹣2，

若不等式f（x）≥m對任意x∈[0，1]恒成立，

則m≤﹣2；

（2）由（1）得：m＝﹣2，

即2x+4y＝2，即x+2y＝1

由x＞0，y＞0

故（）（x+2y）＝33+23+2

即的最小值為3+2．