Question

【題目】設函數， 為曲線在點處的切線．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）當時，證明：除切點之外，曲線在直線的下方．

（Ⅲ）設， ， ，且滿足，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導,再求的值,根據導數的幾何意義可知切線的斜率即為.由點斜式可得直線方程.（Ⅱ）即證明， 恒成立.變形可得即證恒成立即可.令求導,討論導數的正負,根據導數的正負可得函數的單調性.根據單調性可求其最值,其最大值小于0即可.（Ⅲ）當且時由（Ⅱ）可知.當中至少有一個大于等于時,可用配方法求各自值域再相加.

試題解析：解：（Ⅰ） .

所以.

所以 L的方程為，即． 3分

（Ⅱ）要證除切點之外，曲線C在直線L的下方，只需證明， 恒成立.

因為，

所以只需證明， 恒成立即可． 5分

設

則.

令，解得， . 6分

當在上變化時， 的變化情況如下表

所以， 恒成立. 8分

（Ⅲ）（ⅰ）當且時，

由（Ⅱ）可知： ，

， .

三式相加，得.

因為，

所以，且當時取等號． 11分

（ⅱ）當中至少有一個大于等于時，

不妨設，則，

因為， ，

所以．

綜上所述，當時取到最大值. 14分