Question

【題目】給正有理數、（，，，且和不同時成立），按以下規則排列：① 若，則排在前面；② 若，且，則排在的前面，按此規則排列得到數列.

（例如：）.

（1）依次寫出數列的前10項；

（2）對數列中小于1的各項，按以下規則排列：①各項不做化簡運算；②分母小的項排在前面；③分母相同的兩項，分子小的項排在前面，得到數列，求數列的前10項的和，前2019項的和；

（3）對數列中所有整數項，由小到大取前2019個互不相等的整數項構成集合，的子集滿足：對任意的，有，求集合中元素個數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）1010.

【解析】

（1）依題意，數列{an}的前10項為：，，，，，，，，；

（2）按規則Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，求前2019項的和S2019時，先確定最后一個分數的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，進而求解；

（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010項，進而求解；

（1）依題意，數列{an}的前10項為：，，，，，，，，，；

（2）依題意按規則Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，

∴前10項和為：S105；

求前2019項的和S2019時，先確定最后一個分數的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），

數列分母取遍2至64時，共有2016項，所有分母為65的還有3項，即：，，，

∴數列{bn}前2019項為：{，，，，，，，，，，，，，，}，

當n∈[2，64]時，對分母為n的小段求和：S，

∴當n∈[2，64]時，對63個小段相加求和：S′1008，

S2019＝S′1008，

（3）依題意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010項，這種情況B中的元素最多．