Question

【題目】有限個元素組成的集合為，，集合中的元素個數記為，定義，集合的個數記為，當，稱集合具有性質.

（1）設集合具有性質，判斷集合中的三個元素是否能組成等差數列，請說明理由；

（2） 設正數列的前項和為，滿足，其中，數列中的前項：組成的集合記作，將集合中的所有元素從小到大排序，即滿足，求；

（3） 己知集合，其中數列是等比數列，，且公比是有理數，判斷集合是否具有性質，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）否，見解析；（2）；（3）具有性質，理由見解析

【解析】

（1）根據集合具有性質，可以得到、以及的元素性質，運用反證法可以判斷出集合中的三個元素不能組成等差數列；

（2）根據遞推公式求出數列的通項公式，根據題意寫出集合，根據題目中所給的定義，結合等比數列的性質求出；

（3）只要能夠證明當時,不成立，運用反證法結合整除的知識，就可以判斷出集合具有性質.

（1）集合中的三個元素不能組成等差數列，理由如下：

因為集合具有性質，所以，由題中所給的定義可知：中的元素應是：這6個元素應該互不相等，假設中的三個元素能構成等差數列，不妨設成等差數列，這時有

這與集合元素集合中的6個元素互不相等矛盾，其它二種情況也是一樣，故中的三個元素不能能構成等差數列；

（2），得：

，說明數列從第二項起，數列是等差數列，

因為，，所以有，所以，顯然也成立，因此.

所以

，顯然

根據定義在之間增加的元素個數為：，這樣包括在內前面一共有個元素.

當時，包括在內前面共有2016個，顯然不到第2020個數，所以只有當時，能找到

因此；

（3）集合具有性質，理由如下：設等比數列的公比為，所以通項公式為：，為有理數.

設假設當時,成立，則有

，

因為為有理數，所以設且互質，因此有

，

式子的左邊是的倍數，右邊是的倍數，而互質，顯然不成立，因此集合中的元素個數為：，因此它符合已知所下的定義，因此集合是否具有性質.