Question

【題目】已知數列是首項為1的等差數列，數列是公比不為1的等比數列，且滿足，，

（1）求數列，的通項公式；

（2）令，記數列的前n項和為，求證：對任意的，都有；

（3）若數列滿足，，記，是否存在整數，使得對任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）存在整數，使得對任意的都有成立，理由見解析.

【解析】

（1）利用等差等比數列的基本量表示已知條件，解方程組得到基本量，利用等差等比數列的通項公式得到答案；

（2）根據（1）的結論得到數列的通項公式，利用指數的運算裂項，相消求和后得到的表達式，判定單調性，然后利用不等式的基本性質即可證明；
（3）假設存在滿足要求的整數，取得到的范圍，進而求得的值為，然后證明當時，對任意的，都有成立．為此先要根據，利用等比數列的求和公式，求得，結合，求得，然后利用作差法證明即可.

（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為，

則，所以，

因為，所以．

所以，解得

所以，．

（2）因為

所以

又因為對任意的，都有單調遞增，

即，

所以對任意的，都有成立；

（3）假設存在滿足要求的整數，

令，則，解得；

令，則，解得；

令，則，解得；

所以，

又已知，故若存在，則．

下證：當時，對任意的，都有成立．

；

；

即

又；

所以

則

而對任意的，單調遞增，

所以

即對任意的都有成立，得證.

所以，存在整數，使得對任意的都有成立．