Question

設集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有

1+a

1-a

∈A，請考慮以下問題：
（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；
（2）自己設計一個實數屬于A，再求出A中其它所有元素；
（3）根據已知條件和前面（1）（2）你能悟出什么道理來，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有

1+a

1-a

∈A，得集合A中元素為2，-3，-

1

2

，

1

3

；
（2）任取一常數，如3∈A，同（1）可得A={3，-2，-

1

3

，

1

2

}；
（3）由（1）（2）猜想，A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}，給出證明即可．

解答：解：（1）∵2∈A，由題中條件：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有

1+a

1-a

∈A，得

1+2

1-2

=-3∈A．
∵-3∈A，∴

1-3

1+3

=-

1

2

∈A．∵-

1

2

∈A，∴

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

∈A．∵

1

3

∈A，∴

1+ 1 3

1- 1 3

=2∈A．
∴集合A={2，-3，-

1

2

，

1

3

}．
（2）任取一常數，如3∈A，則同理（1）可得：集合A={3，-2，-

1

3

，

1

2

}．
（3）由（1）（2）猜想：任意的常數a∈A（a≠±1，a≠0），則集合A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}．
證明：∵a∈A，∴

1+a

1-a

∈A，∴

1+ 1+a 1-a

1- 1+a 1-a

=-

1

a

，
∴

1- 1 a

1+ 1 a

=

a-1

a+1

∈A，∴

1+ a-1 a+1

1- a-1 a+1

=a∈A．
如果其中任兩元素相等，則a=±1或a=0，故這四個元素不等（集合中元素的互異性）．

點評：本題考查元素與集合的關系，屬于基礎題．關鍵是審題時要注意：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有

1+a

1-a

∈A，得集合A={a，

1+a

1-a

，-

1

a

，

a-1

a+1

}．