Question

設集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有，請考慮以下問題：
（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；
（2）自己設計一個實數屬于A，再求出A中其它所有元素；
（3）根據已知條件和前面（1）（2）你能悟出什么道理來，并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵2∈A，由題中條件：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有，得．
∵-3∈A，∴．∵，∴．∵，∴．
∴集合A={2，-3，，}．
（2）任取一常數，如3∈A，則同理（1）可得：集合A={3，-2，，}．
（3）由（1）（2）猜想：任意的常數a∈A（a≠±1，a≠0），則集合A={a，，，}．
證明：∵a∈A，∴，∴，
∴，∴．
如果其中任兩元素相等，則a=±1或a=0，故這四個元素不等（集合中元素的互異性）．
分析：（1）由題中條件：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有，得集合A中元素為2，-3，，；
（2）任取一常數，如3∈A，同（1）可得A={3，-2，-，}；
（3）由（1）（2）猜想，A={a，，，}，給出證明即可．
點評：本題考查元素與集合的關系，屬于基礎題．關鍵是審題時要注意：集合A中不含有元素-1，0，1，且滿足條件：若a∈A，則有，得集合A={a，，，}．