Question

【題目】已知集合.

（1）求證：函數；

（2）某同學由（1）又發現是周期函數且是偶函數，于是他得出兩個命題：①集合中的元素都是周期函數；②集合中的元素都是偶函數，請對這兩個命題給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉出反例；

（3）設為非零常數，求的充要條件，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）命題①正確.見解析（3）充要條件是或，見解析

【解析】

（1）通過計算證明，即可得證；

（2）根據函數關系代換，即可證明周期性，舉出反例不是偶函數；

（3）根據充分性和必要性分別證明或.

（1）

∴

∴

（2）命題①正確.集合中的元素都是周期函數.

證明：若

則可得.

所以，從而，

所以為周期函數，命題①正確；命題②不正確.

如不是偶函數，但滿足，這是因為

∴

∴

（3）若

則，

∴

∴

∴，可得∴

∴或

當或時

∴

所以的充要條件是或