Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，A、B分別為其左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，△BF₁F₂是面積為的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別與已知直線x=4交于點(diǎn)P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面積為的正三角形，
∴=，c=1，b=，b=，
∴a²=4，∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）根據(jù)題意可知，直線l斜率不為0，
設(shè)直線l方程為：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，得（3m²+4）y²+6my﹣9=0，
∴，
設(shè)點(diǎn)P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三點(diǎn)共線，
由，得，
同理，
線段PQ的中點(diǎn)D即（4，﹣3m），
則D到直線l的距離為
以PQ為直徑的圓的半徑
因?yàn)閐=r，
所以，以PQ為直徑的圓與直線l相切．