Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）過B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并證明；
（Ⅱ）求AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設AB中點為O，連OC，OB1 ， B1C，則截面OB1C為所求，
證明：OC，OB1分別為△ABC，△ABB1的中線，所以AB⊥OC，AB⊥OB1 ，
又OC，OB1為平面OB1C內的兩條相交直線，所以AB⊥平面OB1C，
（Ⅱ）以O為原點，OB方向為x軸方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
易求得B（1，0，0），A（﹣1，0，0）， ，

設平面BCC1B1的一個法向量為 ，
由 解得平面BCC1B1的一個法向量為 ，
，
所以AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為
【解析】（Ⅰ）設AB中點為O，連OC，OB1 ， B1C，則截面OB1C為所求，通過證明AB⊥OC，AB⊥OB1 ， 推出AB⊥平面OB1C．（Ⅱ）以O為原點，OB方向為x軸方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面BCC1B1的一個法向量，入會利用空間向量的數量積求解AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．