Question

【題目】將圓為參數(shù))上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到曲線

(1)求出的普通方程；

(2)設(shè)直線： 與的交點(diǎn)為， ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問首先應(yīng)用伸縮變換公式，根據(jù)公式可以得到變化后的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即，于是可以根據(jù)畫為普通方程；（2）將曲線的普通方程與直線的方程聯(lián)立，可以解方程組，方程組的解分別為兩點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以求出直線的斜率及中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系可以求出線段的垂直平分線的方程，然后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，即得到直線的極坐標(biāo)方程.

試題解析：(1)設(shè)為圓上的任意一點(diǎn)，在已知的變換下變?yōu)?/span>上的點(diǎn)，

則有

(2) 解得：

所以則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線的斜率，于是所求直線方程為.

化為極坐標(biāo)方程得： ，即