Question

【題目】數列{an}的前n項和記為Sn ， a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（1）求{an}的通項公式；
（2）等差數列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn ， 且T3=15，又a1+b1 ， a2+b2 ， a3+b3成等比數列，求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為an+1=2Sn+1，…①

所以an=2Sn﹣1+1（n≥2），…②

所以①②兩式相減得an+1﹣an=2an，即an+1=3an（n≥2）

又因為a2=2S1+1=3，

所以a2=3a1，

故{an}是首項為1，公比為3的等比數列

∴an=3n﹣1．

（2）解：設{bn}的公差為d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，

故可設b1=5﹣d，b3=5+d，

又因為a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比數列，

所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，

解得d1=2，d2=﹣10

∵等差數列{bn}的各項為正，

∴d＞0，

∴d=2，

∴ ．

【解析】（1）由題意可得：an=2Sn﹣1+1（n≥2），所以an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an（n≥2），又因為a2=3a1 ， 故{an}是等比數列，進而得到答案．（2）根據題意可得b2=5，故可設b1=5﹣d，b3=5+d，所以結合題意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2 ， 進而求出公差得到等差數列的前n項和為Tn ．
【考點精析】利用等差數列的前n項和公式和等比數列的通項公式（及其變式）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知前n項和公式：；通項公式：．