Question

【題目】已知橢圓C： 的左焦點F為圓的圓心，且橢圓C上的點到點F的距離最小值為。

（I）求橢圓C的方程；

（II）已知經過點F的動直線與橢圓C交于不同的兩點A、B，點M坐標為（），證明： 為定值。

Answer 1

【答案】（1）（2）為定值，且定值為

【解析】試題分析:（1）橢圓C上的點到點F的距離最小值為，即，根據圓標準方程可得圓心坐標，即得，解得，b=1（2）以算代證：設， ，直線的方程為，則利用向量數量積得，結合直線方程化簡得，最后聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡即得為定值

試題解析：解：(Ⅰ)因為圓的圓心為，半徑為，所以橢圓的半焦距，又橢圓上的點到點F的距離最小值為

所以，即

所以，所求橢圓方程為：

(Ⅱ)①當直線與軸垂直時，直線的方程為： ，

可求得，

此時，

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

由 得

設， 則 ， ，則

所以為定值，且定值為。