Question

【題目】已知θ為向量 與 的夾角，| |=2，| |=1，關于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有實根．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數f（θ）=sin（2θ+ ）的最值及對應的θ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵θ為向量 與 的夾角，| |=2，| |=1，關于x的一元二次方程x2﹣| |x+ =0有實根．
∴△= ﹣4 =4﹣421cosθ≥0，∴cosθ≤ ，∴θ∈[ ，π]．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數f（θ）=sin（2θ+ ），
∵θ∈[ ，π]，∴2θ+ ∈[π， ]，故當2θ+ = 時，即θ= 時，函數f（θ）取得最小值為﹣1；
當2θ+ = 時，即θ=π時，函數f（θ）取得最大值為
【解析】（Ⅰ）由題意根據△=4﹣421cosθ≥0，求得cosθ的范圍，可得θ的范圍．（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數f（θ）=sin（2θ+ ），再利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（θ）=sin（2θ+ ）的最值及對應的θ的值．