Question

【題目】已知實(shí)數(shù)a＞0， 方程 有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，且較大的實(shí)根大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設(shè)比較大的根為x1 ， 則x1＞3， 此時(shí)由 =log3x＞log33=1，
即a ，即a ．
∵方程 有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，方程 有且僅有1實(shí)根，
即﹣x ，在x≤1時(shí)，只有一個(gè)根．
∴x ，
設(shè)g（x）=x ，（x≤1），
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=a，
若a≥1，
∵g（0）= ，
∴此時(shí)滿足g（1）≤0，（圖1）

即g（1）=1﹣2a+ ≤0，
∴7a2﹣32a+16≤0，
解得 ，∴此時(shí)1≤a≤4，．
若0＜a＜1，
∵g（0）= ，
∴此時(shí)滿足g（1）＜0，
即g（1）=1﹣2a+ ＜0，
∴77a2﹣32a+16＜0，
解得 ，∴此時(shí) ，
∴ ，
又a ，
∴ ，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ，
所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系和函數(shù)的零點(diǎn)，需要了解二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能得出正確答案．