Question

【題目】已知，動點(diǎn)滿足成等差數(shù)列。

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）對于軸上的點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)為點(diǎn)對應(yīng)的“比例點(diǎn)”，問：對任意一個(gè)確定的點(diǎn)，它總能對應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”？

Answer 1

【答案】(1) (2) 對任意一個(gè)確定的點(diǎn)，它總能對應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)”

【解析】試題分析：(1)利用等差中項(xiàng)的定義可得利用雙曲線定義寫出軌跡方程即可；（2）考慮到在上，故可設(shè)出其坐標(biāo)，設(shè)，寫出｜｜、｜｜即，根據(jù)｜｜·｜｜＝計(jì)算得出關(guān)于的方程，判斷此方程根的個(gè)數(shù)確定“比例點(diǎn)”.

試題解析：（1）由已知得

∴P點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，

∴P點(diǎn)的軌跡方程為（標(biāo)不扣分，不標(biāo)扣1分） 5分

（2）設(shè)

則

又

由得10分

，∴方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根

∴對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)” 12分