Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且。

（Ⅰ）求拋物線的標準方程及實數的值；

（Ⅱ）直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) , (2) .

【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義及點N的縱坐標為1，得|NF|，結合|NF|=2，求出p的值，即可求拋物線C的方程；
（2）設直線l的方程為：y=kx+1，代入拋物線方程，利用弦長公式求出|AB|，再求出O到AB的距離，利用△AOB的面積為4，求出k的值，即可求直線l的方程．

試題解析：

（Ⅰ）因為拋物線過點，

又因為， ，

，解得：

， ；

（Ⅱ）的焦點，設所求的直線方程為：

由，消去得：

因為直線與拋物線交于兩點， ，

設，

，

所以的面積為，

解得： ，所以所求直線的方程為： .