Question

【題目】以下五個關于圓錐曲線的命題中：

①平面內與定點A（-3，0）和B（3，0）的距離之差等于4的點的軌跡為；

②點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影是M點A的坐標是A（3，6），則的最小值是6；

③平面內到兩定點距離之比等于常數的點的軌跡是圓；

④若過點C（1，1）的直線交橢圓于不同的兩點A，B，且C是AB的中點，則直線的方程是．

⑤已知P為拋物線上一個動點，Q為圓上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是

其中真命題的序號是______．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】

由雙曲線的定理可判定①；由拋物線的定義和三點共線取得最小值，可判定②；由時為兩個定點連線的垂直平分線，可判定③；由點差法和直線的斜率公式，中點坐標公式判定④；由拋物線的定義和三點共線取得最小值，可判定⑤，得到答案.

由題意，①中，平面內與定點和的距離之差等于4，根據雙曲線的定義可得軌跡為雙曲線的右支，且，即方程為，所以是錯誤的；

②中，點P是拋物線上的動點，點P在y軸上的射影為M點，且，由于點A在拋物線開口之外，拋物線的焦點F坐標為，則，

由點A、P、F三點共線可得取得最小值，所以是正確的；

③中，平面內到兩定點距離之比等于的點的軌跡不一定是圓，若，此時為兩個定點的垂直平分線，所以是錯誤的；

④中，若過點的直線角橢圓于不同的兩點A、B，且C是AB的中點，可得C在橢圓的內部，設，可得，兩式相減可得，由于，

所以，則直線的方程為，所以是正確的；

⑤已知P為拋物線上一動點，Q為圓上的一個動點，由拋物線的定義可得P到準線的距離即為P到焦點的距離，

又由的最小值即為到圓心的距離減半徑1，即有最小值為，

則點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值為，所以是正確的，

所以正確命題的序號為②④⑤.