Question

（2012•河西區二模）已知曲線C：y=x²（x＞0），過C上的點A₁（1，1）作曲線C的切線l₁交x軸于點B₁，再過點B₁作y軸的平行線交曲線C于點A₂，再過點A₂作曲線C的切線l₂交x軸于點B₂，再過點B₂作y軸的平行線交曲線C于點A₃，…，依次作下去，記點A_n的橫坐標為a_n（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求證：a_nS_n≤1；
（3）求證：

n

i=1

1

aiSi

≤

4n-1

3

．

Answer 1

分析：（1）由y'=2x（x＞0）．知切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以B_n（

an

2

，0）．依題意點A_n+1在直線x=

an

2

上，所以數列{a_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列．由此能求出數列{a_n}的通項公式
（2）由（I）求出S_n的表達式，進而得到a_nS_n的表達式，令t=

1

2n

，結合二次函數的性質，可得a_nS_n≤1；
（3）S_n≥a_n，（n∈N*），可得a_nS_n≥a_nS²，進而

1

anSn

≤

1

a 2 n

，利用放縮法，可得答案．

解答：解：（1）解（I）∵y'=2x（x＞0）．
∴曲線C在點A_n（a_n，a_n²）處的切線l_n的斜率為k_n=2a_n．
∴切線l_n的方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y₀=0得：x=

an

2

，
∴B_n（

an

2

，0）．
依題意點A_n+1在直線x=

an

2

上，
∴a_n+1=

an

2

（n∈N*），又a₁=1．（4分）
∴數列{a_n}是1為首項，

1

2

為公比的等比數列．
∴an=

1

2n-1

．（5分）
（2）∵S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

=2（1-

1

2n

）
∴a_nS_n=4×

1

2n

（1-

1

2n

）
令t=

1

2n

，則0＜t≤

1

2

∴a_nS_n=4t（1-t）=-4（t-

1

2

）²+1
∴當t=

1

2

時，即n=1時，a_nS_n取最大值1
即a_nS_n≤1（9分）
（3）∵S_n≥a_n，（n∈N*），
∴a_nS_n≥a_nS²，
即

1

anSn

≤

1

a 2 n

（11分）
∵{

1

a 2 n

}是首項為1，公比為4的等比數列
∴

n

i=1

1

aiSi

≤

n

i=1

1

ai2

=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

（14分）

點評：本題考查的知識點是數列的通項公式，前n項和公式，二次函數的性質，數列一不等式的綜合應用，是數列與其它模塊綜合題型，難度較大．