Question

（2012•河西區二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，求k²的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

可求a，c結合b²=a²-c²=1即可求b，進而可求橢圓方程
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過B點的直線為y=kx+1，聯立直線y=kx+1與橢圓方程可求D的坐標，及k的取值范圍，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1
，解方程可求

解答：解：（Ⅰ）由已知2c=2

3

，

c

a

=

3

2

．…（2分）
解得a=2，c=

3

，…（4分）
所以b²=a²-c²=1，
橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得過B點的直線為y=kx+1，
由

x2 4 +y2=1 y=kx+1

得（4k²+1）x²+8kx=0，…（6分）
所以xD=-

8k

1+4k2

，所以yD=

1-4k2

1+4k2

，…（8分）
依題意k≠0，k≠±

1

2

．
因為|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，所以|BE|²=|BD||DE|，…（9分）
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，…（10分）
當y_D＞0時，y_D²-y_D+1=0，無解，…（11分）
當y_D＜0時，y_D²-y_D-1=0，解得yD=

1- 5

2

，…（12分）
所以

1-4k2

1+4k2

=

1- 5

2

，解得k2=

2+ 5

4

，
所以，當|BD|，|BE|，|DE|成等比數列時，k2=

2+ 5

4

．…（14分）

點評：本題主要考查了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，及等比數列的應用，屬于綜合性試題