Question

數列{a_n}滿足a₁=1,a_n+1=(n²+n-λ)a_n(n=1,2,…),λ是常數.
(1)當a₂=-1時,求λ及a₃的值.
(2)數列{a_n}是否可能為等差數列?若可能,求出它的通項公式;若不可能,說明理由.

Answer 1

(1) λ=3   a₃=-3.     (2) 不可能，理由見解析

(1)由于a_n+1=(n²+n-λ)a_n(n=1,2,…),
且a₁=1,所以當a₂=-1時,得-1=2-λ,
故λ=3.從而a₃=(2²+2-3)×(-1)=-3.
(2)數列{a_n}不可能為等差數列,理由如下:
由a₁=1,a_n+1=(n²+n-λ)a_n,得
a₂=2-λ,a₃=(6-λ)(2-λ),
a₄=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{a_n}為等差數列,則a₃-a₂=a₂-a₁,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a₂-a₁=1-λ=-2,
a₄-a₃=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
這與{a_n}為等差數列矛盾.
所以,對任意λ,{a_n}都不可能是等差數列.