Question

在橢圓中，F₁，F₂為其左、右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓交于A，B，C，D四個點，若F₁，F₂，A，B，C，D恰好為一個正六邊形的六個頂點，則橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：如圖，連接AF₂，結合正六邊形的性質得∠F₁AF₂=90°．Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c，可得|AF₂|=c，結合橢圓的定義得：|AF₁|+|AF₂|=（1+）c=2a，再結合離心率公式即可算出該橢圓的離心率．
解答：如圖，連接AF₂，可得等腰△ABF₂中，∠B=120°
∴∠BAF₂=∠AF₂B=30°
因此∠F₁AF₂=120°-30°=90°
Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|AF₁|=c
∴|AF₂|=c，得|AF₁|+|AF₂|=（1+）c=2a
因此，橢圓的離心率e====
故選：C
點評：本題給出橢圓的焦距恰好是其內接正六邊形的長對角線，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與基本概念、正六邊形的性質等知識，屬于基礎題．