Question

某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生1 000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學(xué)經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外250名同學(xué)不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該年級(jí)的學(xué)生中共抽查100名同學(xué)， (Ⅰ)求甲、乙兩同學(xué)都被抽到的概率，其中甲為A類同學(xué)，乙為B類同學(xué)； (Ⅱ)測得該年級(jí)所抽查的100名同學(xué)身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如下圖：

(ⅰ)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間[160，170)的中點(diǎn)值為165）作為代表。據(jù)此，計(jì)算這100名學(xué)生身高數(shù)據(jù)的期望μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ（精確到0.1）： (ⅱ)若總體服從正態(tài)分布，以樣本估計(jì)總體，據(jù)此，估計(jì)該年級(jí)身高在(158.6，181.4)范圍中的學(xué)生的人數(shù)； (Ⅲ)如果以身高達(dá)170cm作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100名學(xué)生，得到下列聯(lián)表：

體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)2×2列聯(lián)表

身高達(dá)標(biāo) 身高不達(dá)標(biāo) 總計(jì) 積極參加體育鍛煉 40     不積極參加體育鍛煉   15   總計(jì)     100 (ⅰ)完成上表； (ⅱ)請(qǐng)問有多大的把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？ 參考公式：， 參考數(shù)據(jù)：

Answer 1

解：(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均為，
且事件“甲同學(xué)被抽到”與事件“乙同學(xué)被抽到”相互獨(dú)立，
故甲、乙兩人都被抽到的概率為。
(Ⅱ)(ⅰ)總體數(shù)據(jù)的期望約為：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170(cm)，
標(biāo)準(zhǔn)差σ=11.4。
(ⅱ)由于μ=170，σ≈11.4，
當(dāng)身高x∈(158.6，181.4)時(shí)，即x∈（μ-σ，μ+σ），
故身高落在(158.6，181.4)中的概率為0.682 6，
故身高落在(158.6，181.4)中的人數(shù)為683人。
(Ⅲ)(ⅰ)

(ⅱ)，
故有75%把握認(rèn)為體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系。