Question

某學校高三年級有學生1000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為A類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為B類同學），現用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學．
（Ⅰ）求甲、乙兩同學都被抽到的概率，其中甲為A類同學，乙為B類同學；
（Ⅱ）測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如右圖：
（ⅰ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間[160，170）的中點值為165）作為代表．據此，計算這100名學生身高數據的期望μ及標準差φ（精確到0.1）；
（ⅱ）若總體服從正態分布，以樣本估計總體，據此，估計該年級身高在（158.6，181.4）范圍中的學生的人數．
（Ⅲ）如果以身高達170cm作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到下列聯表：
體育鍛煉與身高達標2×2列聯表

	身高達標	身高不達標	總計
積極參加體育鍛煉	40
不積極參加體育鍛煉		15
總計			100

（�。┩瓿缮媳�；
（ⅱ）請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關系？
參考公式：K²=

π(ac-bd)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，參考數據：

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

分析：（1）要求甲、乙兩同學都被抽到的概率，我們要根據從學生1000名，抽查100名同學，先計算出甲被抽中的概率，及乙被抽中的概率，然后再根據分步原理求出結果．
（2）按照分層抽樣中，樣本中的比例與總體中的比例一致，易得表中各項數據的值，然后我們可以根據列聯表中的數據，代入公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，計算出k值，然后代入離散系數表，比較即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均為

1

10

，
且事件“甲同學被抽到”與事件“乙同學被抽到”相互獨立，
故甲、乙兩工人都被抽到的概率P=

1

10

×

1

10

=

1

100

（Ⅱ）（ⅰ）總體數據的期望約為：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170（cm）
標準差σ²=（145-170）²×0.03+（155-170）²×0.17+（165-170）²×0.3
+（175-170）²×0.3+（185-170）²×0.17+（195-170）²×0.03=129
∴σ=

129

=11.4
（ⅱ）由于μ=170，σ≈11.4
當身高x∈（158.6，181.4）時，即x∈（μ-σ，μ+σ）
故身高落∈（158.6，181.4）中的概率為0.6826．
故身高落∈（158.6，181.4）中的人數為683人．
（Ⅲ）（ⅰ）

	身高達標	身高不達標	總計
積極參加體育鍛煉	40	35	75
不積極參加體育鍛煉	10	15	25
總計	50	50	100

（ⅱ）K²=

100(40×15-35×10)2

75×25×50×50

≈1.33
故有75%把握認為體育鍛煉與身高達標有關系

點評：獨立性檢驗的應用的步驟為：根據已知條件將數據歸結到一個表格內，列出列聯表，再根據列聯表中的數據，代入公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，計算出k值，然后代入離散系數表，比較即可得到答案．