Question

【題目】某工廠生產甲、乙兩種產品所得利潤分別為和（萬元），它們與投入資金（萬元）的關系有經驗公式，，今將150萬元資金投入生產甲、乙兩種產品，并要求對甲、乙兩種產品的投資金額不低于25萬元．

（1）設對乙產品投入資金萬元，求總利潤（萬元）關于的函數關系式及其定義域；

（2）如何分配使用資金，才能使所得總利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】(1) 其定義域為[25，125] (2) 當甲商品投入114萬元，乙商品投入36萬元時，總利潤最大為203萬元

【解析】試題分析：（1）假設對乙種商品投資（萬元），對甲種商品投資（萬元），利用銷售額減去成本，可求經營甲、乙兩種商品的總利潤（萬元）關于的函數表達式；（2）利用（1）的結論，先換元再利用二次函數配方法，可求總利潤的最大值.

試題解析：（1）根據題意，對乙種商品投資x（萬元），對甲種商品投資（150﹣x）（萬元）（25≤x≤125）．所以

其定義域為[25，125]

（2）令，因為x∈[25，125]，所以t∈[5，5]，

有

當時函數單調遞增，當時函數單調遞減，

所以當t=6時，即x=36時，ymax=203

答：當甲商品投入114萬元，乙商品投入36萬元時，總利潤最大為203萬

元．