Question

【題目】如圖，已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F為CE的中點．

（1）求直線AF與平面ACD所成的角；
（2）求證：平面BCE⊥平面DCE．

Answer 1

【答案】
（1）解：取CD的中點G，連接AG，FG，

則FG是△CDE的中位線，

∴FG∥DE，

又∵DE⊥平面ACD，

∴FG⊥平面ACD，

∴∠AFG為直線AF與平面ACD所成的角，

設AC=AD=CD=DE=2AB=2，

則FG= DE=1，AG= ，

∴tan∠AFG= = ，

∴∠AFG=60°，即直線AF與平面ACD所成的角為60°

（2）證明：∵AB⊥平面ACD，

∴AB⊥AC，AB⊥AD，AB⊥AG，

設AC=AD=CD=DE=2AB=2，

在直角梯形ABED中，BE= = ，BC= = ，

∴BC=BE，又F是CE的中點，

∴BF⊥CE，

∵AB DE，FG DE，

∴AB FG，

∴四邊形ABFG是平行四邊形，

又AB⊥AG，

∴四邊形ABFG是矩形，

∴BF⊥FG，

又CE∩FG=F，

∴BF⊥平面CDE，

又BF平面BCE，

∴平面BCE⊥平面DCE．

【解析】（1）求線面角關鍵是求面的垂線，因此取CD的中點G，則FG∥DE，FG⊥平面ACD，所以∠AFG為直線AF與平面ACD所成的角，再放到平面三角形AGF中，即可；
（2）要證明面面垂直關鍵是線面垂直，因此只需證明BF⊥平面CDE，根據邊的的關系可得三角形BCE是等腰三角形，則BF⊥CE；再根據四邊形ABFG是是矩形，可得BF⊥FG；再根據線面垂直的判定定理，可得BF⊥平面CDE，及證。
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．