Question

【題目】已知橢圓E： 的左、右焦點分別為F1、F2 ， 離心率 ，P為橢圓E上的任意一點（不含長軸端點），且△PF1F2面積的最大值為1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0與橢圓E交于不同的兩點A，B，且線AB的中點不在圓 內，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

又a2=b2+c2，且 ，

聯立解得： ，c=1．

∴橢圓的標準方程為 ；

（Ⅱ）聯立 ，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0．

則△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得 ．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ，

，即AB的中點為（ ）．

又AB的中點不在圓 內，

∴ ，解得：m≤﹣1或m≥1．

綜上可知， 或1

【解析】（Ⅰ）由已知列出關于a、b、c的方程，聯立方程求得a、b的值進而求出橢圓的方程。（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程，利用一元二次方程的根與系數的關系求得AB中點的坐標，再由AB的中點不在圓內結合判別式可求得m的取值范圍。