Question

【題目】設函數f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的圖象關于直線x=對稱，它的周期是π，則以下結論正確的個數（　　）
（1）f（x）的圖象過點（0，）
（2）f（x）的一個對稱中心是（,0）
（3）f（x）在[,]上是減函數
（4）將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位得到函數y=3sinωx的圖象．
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又圖象關于直線x=對稱，則2×+φ=kπ+ ， 即φ= ， k∈Z．
∵﹣＜φ＜ ，
∴取k=1得φ= ．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin= ．
∴f（x）的圖象過點（0，）錯誤；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一個對稱中心是（,0）正確；
③由，得：
．
取k=0，得
∴f（x）在[,]上是減函數正確；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移個單位得到，
則f（x）的圖象向右平移個單位得到函數y=3sinωx的圖象．
∴命題④錯誤．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．