Question

【題目】如圖，幾何體由一個正三棱柱截去一個三棱錐而得， ， ， ， 平面， 為的中點， 為棱上一點，且平面.

（1）若在棱上，且，證明： 平面；

（2）過作平面的垂線，垂足為，確定的位置（說明作法及理由），并求線段的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由線面平行的性質定理可證得 .

過作于，連接，則，由此可得，

∴ ，則 .從而可證平面平面.故平面.

（2）在線段上取一點，使， 可知 ，∴，

∴.取的中點，連接，過作于，則平面.

證明：由題意可知，可證平面，∴.又，∴平面.

由射影定理可得.

試題解析：（（1）證明：∵平面， 平面，

平面平面，

∴.

過作于，連接，則，

則，∴，

∴，則.

∵，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）解：在線段上取一點，使，則，由（1）知，

∴，∴，

∴.

取的中點，連接，過作于，則平面.

證明如下：由題意可知， 為等邊三角形，則，又平面，∴.

∵，∴平面，∴.

又，∴平面.由射影定理可得， ，

又， ，∴.