Question

已知函數f（x）=

x2+a

x

，當x∈N^*時，f（x）≥f（3）恒成立，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：利用不等式恒成立，進行參數分離，求參數的最值即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）=

x2+a

x

=x+

a

x

，
∴要使當x∈N^*時，f（x）≥f（3）恒成立，
則x+

a

x

≥3+

a

3

，
即x-3≥

x-3

3x

•a，
∵x∈N^*，
∴當x=1，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價為-2≥-

2

3

a，此時a≥3，
當x=2，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價為-1≥-

1

6

a，此時a≥6，
當x=3，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價為0≥0，恒成立，
當x≥4時，不等式x-3≥

x-3

3x

•a等價為1≥

a

3x

，即a≤3x恒成立，
即此時a≤12，綜上

a≥3 a≥6 a≤12

，解得6≤a≤12，
故實數a的取值范圍為[6，12]．
故答案為：[6，12]

點評：本題主要考查函數恒成立問題，利用參數分離法是解決此類問題的基本方法，注意要對x進行分類討論．