Question

【題目】已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且；

（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓對(duì)稱性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；

（2）由直線方程為求得點(diǎn)坐標(biāo)（橫坐標(biāo)即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識(shí)（導(dǎo)數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上．

（1）由橢圓對(duì)稱性知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，

由題意，，方程為，于是可以設(shè)點(diǎn)其中，于是，解得，

所以.

（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，

即：，則，那么，

同理，知：，

由，得：，即：.

令，則，

所以單調(diào)增，又，，

故存在唯一零點(diǎn)，即.