Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于兩點A，B，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x＝﹣3于點D（﹣3，m）．

（1）求m2+k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD||OE|，求證：直線l過定點．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】

（1）設出直線方程為，聯立直線的方程和橢圓的方程，化簡為一元二次方程的形式.根據直線和橢圓有兩個交點得出判別式大于零，寫出韋達定理，根據中點坐標公式求得點的坐標，由此求得直線的斜率和方程，根據點坐標求得的關系式，結合基本不等式求得的最小值.（2）將直線的方程代入橢圓方程，求得點坐標，結合兩點坐標以及兩點間的距離公式，求得，代入列方程，解方程求得的關系，由此判斷出直線過定點.

（1）設直線l的方程為y＝kx+t（k＞0），由題意，t＞0，

由方程組，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由題意△＞0，所以3k2+1＞t2，

設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系得，所以，

由于E為線段AB的中點，因此，

此時，所以OE所在直線的方程為，

又由題意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，

所以m2+k2≥2mk＝2，當且僅當m＝k＝1時上式等號成立，

此時由△＞0得0＜t＜2，因此當m＝k＝1且0＜t＜2時，m2+k2取最小值2．

（2）證明：由（1）知D所在直線的方程為，

將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得，又，

由距離公式及t＞0得，，，

由|OG|2＝|OD||OE|，得t＝k，

因此直線l的方程為y＝k（x+1），所以直線l恒過定點（﹣1，0）．