Question

設常數a＞0，若9x+

a2

x

≥a²-7對一切的正實數x均成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：由題設9x+

a2

x

≥a²-7對一切的正實數x均成立可轉化為（9x+

a2

x

）_min≥a²-7，利用基本不等式判斷出9x+

a2

x

≥6a，由此可得到關于a的不等式，解之即可得到所求的范圍．

解答： 解：常數a＞0，若9x+

a2

x

≥a²-7對一切正實數x成立，
故（9x+

a2

x

）_min≥a²-7，
∵9x+

a2

x

≥6a，當且僅當9x=

a2

x

，即x=

a

3

時，等號成立
∴6a≥a²-7，
∴a＞0，
∴0＜a≤7，
故答案為：（0，7]．

點評：本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化，轉化為（9x+

a2

x

）_min≥a²-7是解題的關鍵．