Question

2．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（1）求角B的大小；
（2）若A=$\frac{π}{2}$，D為△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，結合sinC＞0，可求tanB=1，根據范圍B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理可得BC²=5-4cosD，由△ABC為等腰直角三角形，可求${S_{△ABC}}=\frac{5}{4}-cosD$，S_△BDC=sinD，由三角函數恒等變換的應用可求${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，利用正弦函數的圖象和性質可求最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．
∴有sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，
則cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴則$B=\frac{π}{4}$．
（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD，
又∵$A=\frac{π}{2}$，
則△ABC為等腰直角三角形，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}×BC=\frac{1}{4}B{C^2}=\frac{5}{4}-cosD$，
又∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}×BD×DCsinD=sinD$，
∴${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}-cosD+sinD=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，
當$D=\frac{3π}{4}$時，四邊形ABCD的面積最大值，最大值為$\frac{5}{4}+\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，余弦定理，三角函數恒等變換的應用以及正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．