Question

14．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且直線x=1與橢圓相交所得弦長為$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若在y軸上的截距為4的直線l與橢圓分別交于A，B兩點，O為坐標原點，且直線OA，OB的斜率之和等于2，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率求得a²=4b²，由題意過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，由k_OA+k_OB=0，即可求得k的值．

解答 解：（1）題意可知：橢圓經過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
將（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入橢圓方程：$\frac{1}{4{b}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=4，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）設直線l_AB：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+32kx+60=0，
由△=（32k）²-240（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{15}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
由韋達定理可知x₁+x₂=-$\frac{32k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{60}{1+4{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+4）{x}_{2}+（k{x}_{2}+4）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×（-$\frac{32k}{60}$），
∵直線OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×（-$\frac{32k}{60}$）=2，解得k=-15，
∴直線AB的斜率-15．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．