Question

12．已知函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f′（x）=2x-2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b₁=1，b_n+1=b_n+a_n+2（n∈N^*），求b_n；
（3）記c_n=$\root{4}{\frac{1}{{b}_{n}}}$（n∈N^*），試證c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜89．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數和函數的關系求出a，b的值，再根據點在直線上，故可得S_n=n²-2n，再根據數列的遞推公式即可求出，
（Ⅱ）利用迭代法即可求出數列的通項公式，
（Ⅲ）利用放縮法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b=2x-2，
∴a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x，
∴S_n=n²-2n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，
a₁=S₁=-1適合上式，
∴a_n=2n-3，
（Ⅱ）由b₁=1，b_n+1=b_n+a_n+2（n∈N^*），
得b_n+1-b_n=a_n+2=2n+1，（n∈N^*），
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₃）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
∴b_n=n²，（n∈N^*），
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c_n=$\root{4}{\frac{1}{{b}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$，c₁=1
∴$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n∈N^*，n≥2），
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁＜1+2（$\sqrt{2}$-1）+2（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+…+2（$\sqrt{2011}$-$\sqrt{2010}$）=2$\sqrt{2011}$-1＜2×45-1=89．

點評 本題考查了數列和函數的特征，以及數列的遞推公式和放縮法證明不等式，屬于中檔題