Question

P是以F₁、F₂為焦點的橢圓上一點，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=2α，求證：橢圓的離心率為e=2cosα-1．

Answer 1

分析：依據橢圓的定義2a=|PF₁|+|PF₂|，2c=|F₁F₂|，又由e=

2c

2a

，在△PF₁F₂中解此三角即可得證．

解答：證明：在△PF₁F₂中，由正弦定理知

|PF1|

sin2α

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(π-3α)

．
由比例的性質得

|F1F2|

sin3α

=

|PF1|+|PF2|

sin2α+sinα

?e=

|F1F2|

|PF1|+|PF2|

=

sin3α

sin2α+sinα

=

sinαcos2α+cosαsin2α

sinα+2sinαcos α

=

sinα(2cos2α-1)+2sinα•cos2α

sin(1+2cosα)

=

4cos2α-1

2cosα+1

=2cosα-1．

點評：本題主要考查了橢圓的應用．恰當地利用比例的性質有事半功倍之效．