Question

設P是以F₁、F₂為焦點的橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1 (a＞b＞0)上的任一點，∠F₁PF₂最大值是120°，求橢圓離心率．

Answer 1

分析：先根據橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理化簡整理得cos∠PF₁F₂=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1，進而根據均值不等式確定|PF₁||PF₂|的范圍，進而確定cos∠PF₁F₂的最小值，求得a和b的關系，進而求得a和c的關系，確定橢圓的離心率．

解答：解：根據橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a
cos∠PF₁F₂=

|PF 1|2+|PF 2|2-|F1F2|2

2|PF1| |PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1| |PF2|

-1≥

2b2

a2

-1=-

1

2

∴a²=4b²
∴c²=

a2-b2

=3b²
∴e=

c

a

=

3

2

點評：本題主要考查了橢圓的應用．當P點在短軸的端點時∠F₁PF₂值最大，這個結論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．