Question

已知點P是以F₁，F₂為焦點的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點，且

PF1

•

PF2

=0，tan∠PF1F2=

1

2

，則該橢圓的離心率等于

5

3

．

Answer 1

分析：依題意，焦點三角形PF₁F₂為直角三角形，利用解直角三角形知識可得|PF₂|=

2 5

5

c，再由橢圓定義，可得|PF₂|=

2a

3

，從而由等式

2a

3

=

2 5

5

c求得橢圓離心率

解答：解：在三角形PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，
∵

PF1

•

PF2

=0，∴∠F₁PF₂=90°
∵tan∠PF1F2=

1

2

，∴|PF₁|=2|PF₂|
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²=5|PF₂|²=4c²，
∴|PF₂|=

2 5

5

c
∵|PF₁|+|PF₂|=3|PF₂|=2a
∴|PF₂|=

2a

3

∴

2a

3

=

2 5

5

c
∴e=

c

a

=

5

3

故答案為

5

3

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，橢圓中焦點三角形的性質和計算，橢圓定義的應用及橢圓離心率的定義及計算方法，有一定的運算量