Question

【題目】已知函數．

（1）設，求函數的單調增區間；

（2）設，求證：存在唯一的，使得函數的圖象在點處的切線l與函數的圖象也相切；

（3）求證：對任意給定的正數a，總存在正數x，使得不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）的單調增區間為（0，]；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出導函數，在函數定義域內由確定其增區間；

（2）先求出在處的切線方程，設這條切線與的圖象切于點，由，得出關于的方程，然后證明此方程的解在上存在且唯一．

（3）把問題轉化為在上有解，令，則只要即可．

（1）h（x）＝g（x）﹣x2＝lnx﹣x2，x∈（0，+∞）．

令，

解得．

∴函數h（x）的單調增區間為（0，]．

（2）證明：設x0＞1，，可得切線斜率，

切線方程為：．

假設此切線與曲線y＝f（x）＝ex相切于點B（x1，），f′（x）＝ex．

則k=，

∴．

化為：x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1＝0，x0＞1．

下面證明此方程在（1，+∞）上存在唯一解．

令u（x0）＝x0lnx0﹣lnx0﹣x0－1，x0＞1．

，在x0∈（1，+∞）上單調遞增．

又u′（1）＝－1，，

∴在上有唯一實數解，

，，遞減，

時，，遞增，

而，∴在上無解，

而，∴在上有唯一解．

∴方程在（1，+∞）上存在唯一解．

即：存在唯一的x0，使得函數y＝g（x）的圖象在點A（x0，g（x0））處的切線l與函數y＝f（x）的圖象也相切．

（3）證明：，

令v（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．

∴v′（x）＝ex﹣1＞0，

∴函數v（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，

∴v（x）＞v（0）＝0．

∴，

∴不等式，a＞0ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

即H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax＜0，

由對任意給定的正數a，總存在正數x，使得不等式成立H（x）min＜0．

H（x）＝ex﹣x﹣1﹣ax，a，x∈（0，+∞）．

H′（x）＝ex﹣1﹣a，令ex﹣1﹣a＝0，

解得x＝＞0，

函數H（x）在區間（0，）上單調遞減，在區間（，+∞）上單調遞增．

∵H（0）＝0，∴．

∴存在對任意給定的正數a，總存在正數x，使得不等式成立．