Question

【題目】設、分別是橢圓C：的左、右焦點，，直線1過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過右焦點的直線m與橢圓C相交于M、N兩點，試問：橢圓C上是否存在點P，使成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓；（2）

【解析】

（1）由題意布列關于a，b的方程組，解之，即可得到橢圓C的方程；

（2）設、，設y＝k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程得，由此運用韋達定理和向量的坐標運算，代入橢圓方程，解得k，求出點P的坐標．

（1）

由可得，

等邊三角形中：，，

則，得，

又因為，所以，

則橢圓；

（2）設、,

則由題意知的斜率為一定不為,故不妨設,
代入橢圓的方程中,

整理得,
顯然.
由韋達定理有:,①
且②
假設存在點,使成立,則其充要條件為:

點,
點在橢圓上,即.
整理得
又在橢圓上,即,，
故由①②代入：，解得,

則。