Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣x+1．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）證明當x∈（1，+∞）時，1＜ ＜x；
（3）設c＞1，證明當x∈（0，1）時，1+（c﹣1）x＞cx ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）=lnx﹣x+1的導數為f′（x）= ﹣1，

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．

即有f（x）的增區間為（0，1）；減區間為（1，+∞）；

（2）

證明：當x∈（1，+∞）時，1＜ ＜x，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）遞減，

可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；

設F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，

當x＞1時，F′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）=0，

即有xlnx＞x﹣1，則原不等式成立；

（3）

證明：設G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，

可令G′（x）=0，可得cx= ，

由c＞1，x∈（0，1），可得1＜cx＜c，即1＜ ＜c，

由（1）可得cx= 恰有一解，設為x=x0是G（x）的最大值點，且0＜x0＜1，

由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）遞增，在（x0，1）遞減，

可得G（x0）=1+（c﹣1）x0﹣cx0＞0成立，

則c＞1，當x∈（0，1）時，1+（c﹣1）x＞cx．

【解析】（1）求出導數，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間，注意函數的定義域；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．運用（1）的單調性可得lnx＜x﹣1，設F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；（3）設G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx ， 求出導數，可令G′（x）=0，由c＞1，x∈（0，1），可得1＜ ＜c，由（1）可得cx= 恰有一解，設為x=x0是G（x）的最小值點，運用最值，結合不等式的性質，即可得證．；本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運用構造函數法，求出導數判斷單調性，考查推理和運算能力，屬于中檔題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．