Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，求函數(shù)f（x2+1）的最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)f（x）=ax2+bx+c，a≠0，推導(dǎo)出f（0）=c=2，2ax-a+b=2x+1，從而f（x）=x2+2x+2，由此能求出函數(shù)f（x2+1）的最小值．

解：∵二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，

∴設(shè)f（x）=ax2+bx+c，a≠0，

∴f（0）=c=2．

ax2+bx+c-a（x-1）2-b（x-1）-c=2x+1．

∴2ax-a+b=2x+1，

∴，解得，

∴f（x）=x2+2x+2，

令t=x2+1，則t≥1．

函數(shù)f（x2+1）即為f（t）=t2+2t+2=（t+1）2+1，

又f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

∴f（t）min=f（1）=5，

∴函數(shù)f（x2+1）的最小值為5．