Question

下列四個命題中：
①設經x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x²+y²≥4”的必要不充分條件；
②命題“所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是：“存在一個能被2整除的整數不是偶數”；
③已知命題“如果|a|≤1，那么關于x的不等式（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集為∅”，它的逆命題是假命題；
④“m=1”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充要條件；
則所有正確命題的序號有

②③

．

Answer 1

分析：①利用充分條件和必要條件的定義判斷．②利用全稱命題的否定是特稱命題進行判斷．③利用四種命題真假之間的關系判斷．④利用充要條件的定義判斷．

解答：解：①若x≥2且y≥2，則x²+y²≥4成立．當x=0，y=3時，滿足x²+y²≥4，但x≥2不成立，所以“x≥2且y≥2”是“x²+y²≥4”的充分不必要條件，所以①錯誤．
②全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“所有能被2整除的整數都是偶數”的否定是：“存在一個能被2整除的整數不是偶數”，所以②正確．
③原命題的逆命題為“若關于x的不等式（a²-4）x²+（a+2）x-1≥0的解集為∅，則|a|≤1”，當a=-2時，不等式等價為-1≥0，此時解集為空集，
所以a=-2成立，所以逆命題為假命題，所以③正確．
④若（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，則（m+2）（m-2）+m（m+2）=0，即（m+2）（m-1）=0，解得m=1或m=-2．
  所以“m=1”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分不必要條件，所以④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，四種命題之間的關系，以及含有量詞的命題的否定，綜合性較強．