Question

 (本小題滿分15分)

數列的各項均為正數，為其前項和，對于任意，總有成等差數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為 ，且，求證：對任意實數（是常數，

＝2．71828）和任意正整數，總有 2；

（3） 正數數列中，．求數列中的最大項．

Answer 1

（1）解：由已知：對于，總有 ①成立

∴   （n ≥ 2）②  

①--②得∴

∵均為正數，∴   （n ≥ 2） ∴數列是公差為1的等差數列                

又n=1時，，解得=1∴．（）    

（2）證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤．

∴

（3）解：由已知  ，

        易得　       猜想 n≥2 時，是遞減數列． 

令

∵當∴在內為單調遞減函數．

由．∴n≥2 時，是遞減數列．即是遞減數列．

又 ，∴數列中的最大項為．