Question

【題目】已知直線與拋物線：交于，兩點，且的面積為16（為坐標原點）.

（1）求的方程；

（2）直線經過的焦點且不與軸垂直，與交于，兩點，若線段的垂直平分線與軸交于點，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）將代入拋物線方程求出兩點坐標，由三角形面積可求得，得拋物線方程；

（2）直接設直線的方程為，代入拋物線方程，設，，則可得，由焦點弦長公式得，同時可得中點坐標，寫出中垂線方程，求出點坐標及，然后求比值可得．

（1）解：將代入，得，

所以的面積為.

因為，所以，

故的方程為.

（2）證明：由題意設直線的方程為，

由，得.

設，，則，

所以.

因為線段的中點的橫坐標為，縱坐標為，

所以線段的垂直平分線的方程為，

令，得，所以的橫坐標為，

所以，

故為定值.