Question

【題目】已知函數， （其中為常數， 為自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行.

（1）求的單調區間；

（2）當時，若函數有兩個不同零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為．（2）

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得切線斜率，解出，再求導函數零點，根據導函數符號確定函數單調區間，（2）先化簡，再求導數，利用參變分離轉化為研究兩曲線交點個數問題：函數的圖象與函數的圖像有兩個不同交點，再利用導數研究函數圖像，結合圖像確定有兩個交點需滿足的條件

試題解析：解：（Ⅰ）因為

所以的定義域為，且，

由于曲線在處的切線與軸平行，

所以，因此;

所以

令， ，

當時， ，

當時， ，

又因為，

所以當時， ，

當時， ，

因此的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又因為， ，

所以，

由得，令，

所以函數有兩個不同零點等價于函數的圖象與函數的圖像有兩個不同交點，

又因為，

當時，由得，

當時， ，

當時， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cc31a5e0/SYS201712291718517226540281_DA/SYS201712291718517226540281_DA.052.png" width="64" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

所以在區間上單調遞減，

在區間上單調遞增，

因此，

又因為， ，

所以，則，

結合函數圖像可得，當時，函數的圖像與函數的圖像有兩個不同交點，

即當時， 函數有兩個不同零點，

綜上可得，所求實數的取值范圍為．